Newton力学でKeplerの法則を証明する

惑星の運動を考えよう．平面内なのでまずxy直交座標系．太陽は質量Mで原点にあり，惑星は質量mで位置\mathbf{r}=(x;y)とする．また，太陽の動きは無視する．

運動方程式は m\ddot{\mathbf{r}}=-\frac{GmM}{|\mathbf{r}|^3}\mathbf{r}．

でもこれをrθ極座標に(x;y)=(r\cos\theta;r\sin\theta)で移してしまおう．

 

それで計算して出てきた式(略)を(\cos\theta;\sin\theta),(-\sin\theta;\cos\theta)の独立性で分けると

m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)=-\frac{GmM}{r^2}

m(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})=0

この2つの式になる．

 

後者の式は\frac{d(r^2\dot{\theta})}{dt}=0となる．よってA=r^2\dot{\theta}は一定．これは面積速度一定の意味．Kepler第2法則．

 

今のAを前者の式に入れてθを消すと，\ddot{r}-\frac{A^2}{r^3}=-\frac{GM}{r^2}．

今度はp=1/rとおき，与式からtを消して与式をpとθの式にし整理することにする．

計算されるのは\frac{dp}{d\theta}=-\frac{\dot{r}}{A}，\frac{d^2p}{d\theta^2}=-\frac{\ddot{r}r^2}{A^2}なのでそれを使い，

結果，\frac{d^2p}{d\theta^2}+p=B となる．ただしB=\frac{GM}{A^2}とおいた．

これはもう簡単だ．初期条件をこの段階で都合よく定めれば，解はp=B+C\cos\theta (Cは任意定数)となる．

 

さらにl=\frac{1}{B}，e=\frac{C}{B}とおいて，r=\frac{l}{1+e\cos\theta}．

 

これは何を意味するのかというと，この式で表される曲線を円錐曲線といって，(またこのeを離心率といって，)

|e|=0の時は円を，

0\lt|e|\lt1の時は楕円を，

|e|=1の時は放物線を，

1\lt|e|の時は双曲線を表す．

特に楕円の場合は，焦点距離2c，長軸a，短軸bを求めてみると，

a=\frac{l}{1-e^2}，b=\frac{l}{\sqrt{1-e^2}}，c=\frac{el}{1-e^2}となる．

 

最後にこの運動の周期を求める．まずはAの値を求める．

惑星が最も太陽から遠い時(距離a+c)の速さをv_f，近い時(距離a-c)の速さをv_nとすると，そのいずれの時も惑星の位置と速度は直交するので

A=r^2\dot{\theta}=rvとでき，A=(a+c)v_f=(a-c)v_n．

またエネルギー保存より\frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{GmM}{(a+c)^2} = \frac{1}{2}mv_n^2 - \frac{GmM}{(a-c)^2}． 

これらを連立させてせっせと解くと，A=b\sqrt{\frac{GM}{a}が出る．

事実として楕円の面積が\pi a bなのがあり，またA/2が面積速度の意味を持つので，

周期TはT\frac{A}{2}=\pi a bで求められる．

これを綺麗にすればGMT^2=4\pi^2a^3．Kepler第3法則．