坂を転がり落ちる球の加速度

通常の重力のもと，水平面と\thetaの角をなす斜面を転がる鉄球の，斜面下向きの加速度を求めよう．

ただし，斜面と球の表面が滑ることは無いとする．

 

重力加速度g，水平面と坂のなす角\theta，

回り始め(初速0)の水平面からの高さH，球の半径r，質量M，慣性モーメントI，

現在の水平面からの高さy，回り始めから進んだ距離s，現在の重心の斜面下向き速度v，現在の斜面下向き加速度a，現在の重心回りの角速度\omegaとする．

 

まずエネルギー保存則より

MgH = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 + Mgy

球の慣性モーメントは I=\frac{2}{5}Mr^2なのでこれを代入し

MgH = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{5}Mr^2\omega^2 + Mgy

坂と球が滑ることは無いので，球の表面の速度はv．ゆえにv=r\omega．これを代入し

MgH = \frac{7}{10}Mv^2 + Mgy

両辺を時間tで微分し

0 = \frac{7}{5}Mva + Mg\dot{y}

ここでs\sin \theta = H - y の両辺を時間で微分すると

v\sin \theta = - \dot{y}

これを与式に用いて

Mgv\sin\theta = \frac{7}{5}Mva

これを解いて

a=\frac{5}{7}g\sin\theta

 

よくある問題なので，転がり落ちる場合と滑り落ちる場合を間違えないようにね．