calc機能の仕様

suugakutanのcalc機能はpythonで書かれており，まず使用できない文字が含まれている場合と**(べき乗)が入っている場合を撥ねて，evalしています．

使用できる記号，関数は以下のとおり．スペースもだめですよ．

記号 +-*/%(),.

数字 0～9

mathモジュールの関数 ceil,fabs,floor,exp,log,sqrt,sin,cos,tan,asin,acos,atan,sinh,cosh,tanh,e,pi

整数同士の割り算については整数を返すので，その場合は適当なところに1.0*とかつけて対処してください．

Newton力学でKeplerの法則を証明する

惑星の運動を考えよう．平面内なのでまずxy直交座標系．太陽は質量Mで原点にあり，惑星は質量mで位置\mathbf{r}=(x;y)とする．また，太陽の動きは無視する．

運動方程式は m\ddot{\mathbf{r}}=-\frac{GmM}{|\mathbf{r}|^3}\mathbf{r}．

でもこれをrθ極座標に(x;y)=(r\cos\theta;r\sin\theta)で移してしまおう．

 

それで計算して出てきた式(略)を(\cos\theta;\sin\theta),(-\sin\theta;\cos\theta)の独立性で分けると

m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)=-\frac{GmM}{r^2}

m(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})=0

この2つの式になる．

 

後者の式は\frac{d(r^2\dot{\theta})}{dt}=0となる．よってA=r^2\dot{\theta}は一定．これは面積速度一定の意味．Kepler第2法則．

 

今のAを前者の式に入れてθを消すと，\ddot{r}-\frac{A^2}{r^3}=-\frac{GM}{r^2}．

今度はp=1/rとおき，与式からtを消して与式をpとθの式にし整理することにする．

計算されるのは\frac{dp}{d\theta}=-\frac{\dot{r}}{A}，\frac{d^2p}{d\theta^2}=-\frac{\ddot{r}r^2}{A^2}なのでそれを使い，

結果，\frac{d^2p}{d\theta^2}+p=B となる．ただしB=\frac{GM}{A^2}とおいた．

これはもう簡単だ．初期条件をこの段階で都合よく定めれば，解はp=B+C\cos\theta (Cは任意定数)となる．

 

さらにl=\frac{1}{B}，e=\frac{C}{B}とおいて，r=\frac{l}{1+e\cos\theta}．

 

これは何を意味するのかというと，この式で表される曲線を円錐曲線といって，(またこのeを離心率といって，)

|e|=0の時は円を，

0\lt|e|\lt1の時は楕円を，

|e|=1の時は放物線を，

1\lt|e|の時は双曲線を表す．

特に楕円の場合は，焦点距離2c，長軸a，短軸bを求めてみると，

a=\frac{l}{1-e^2}，b=\frac{l}{\sqrt{1-e^2}}，c=\frac{el}{1-e^2}となる．

 

最後にこの運動の周期を求める．まずはAの値を求める．

惑星が最も太陽から遠い時(距離a+c)の速さをv_f，近い時(距離a-c)の速さをv_nとすると，そのいずれの時も惑星の位置と速度は直交するので

A=r^2\dot{\theta}=rvとでき，A=(a+c)v_f=(a-c)v_n．

またエネルギー保存より\frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{GmM}{(a+c)^2} = \frac{1}{2}mv_n^2 - \frac{GmM}{(a-c)^2}． 

これらを連立させてせっせと解くと，A=b\sqrt{\frac{GM}{a}が出る．

事実として楕円の面積が\pi a bなのがあり，またA/2が面積速度の意味を持つので，

周期TはT\frac{A}{2}=\pi a bで求められる．

これを綺麗にすればGMT^2=4\pi^2a^3．Kepler第3法則．

坂を転がり落ちる球の加速度

通常の重力のもと，水平面と\thetaの角をなす斜面を転がる鉄球の，斜面下向きの加速度を求めよう．

ただし，斜面と球の表面が滑ることは無いとする．

 

重力加速度g，水平面と坂のなす角\theta，

回り始め(初速0)の水平面からの高さH，球の半径r，質量M，慣性モーメントI，

現在の水平面からの高さy，回り始めから進んだ距離s，現在の重心の斜面下向き速度v，現在の斜面下向き加速度a，現在の重心回りの角速度\omegaとする．

 

まずエネルギー保存則より

MgH = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 + Mgy

球の慣性モーメントは I=\frac{2}{5}Mr^2なのでこれを代入し

MgH = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{5}Mr^2\omega^2 + Mgy

坂と球が滑ることは無いので，球の表面の速度はv．ゆえにv=r\omega．これを代入し

MgH = \frac{7}{10}Mv^2 + Mgy

両辺を時間tで微分し

0 = \frac{7}{5}Mva + Mg\dot{y}

ここでs\sin \theta = H - y の両辺を時間で微分すると

v\sin \theta = - \dot{y}

これを与式に用いて

Mgv\sin\theta = \frac{7}{5}Mva

これを解いて

a=\frac{5}{7}g\sin\theta

 

よくある問題なので，転がり落ちる場合と滑り落ちる場合を間違えないようにね．